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高数就不行了,我尽力多时也无法把那些公式定理形象化了解,形似只能死记硬背。所以直接导致大学物理、电磁场电磁波等科目成果也适当一般。是不是我的脑子学到高中便是极限了?直说也不妨,由于我发现我现在干的这活其实学到初中就能做了,赚的形似也还能够。囧。







 上了大学,为什么看不明白大学数学

由于教材太差?

一个国家的教育水平,必定程度能够体现在教材的水平上;一个大学的教乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载学水平,更好像反响在教材水平上。我国绝大多数校园的数学课程都是直接从苏联数学承继过来的,三十多年来,革新的速度仍是比较慢的。假设你看过美国的教材,或许能够从不同视点了解国内考研学生数学平均分的不及格,可能是标题太难,也可能是教材太差,真的太差。假设数学教材存在一个轻视链,那能够说国内985211好了一点点,可是常青藤系列比国内985好了一个几许量。

例如,同济版《高数》、浙大《概率核算》、同济《线代》这三套经典教材其实存在着巨大缺乏。他们外表听起来很巨大,实践上承继了苏联空泛笼统的形式,以至于内容设置十分不合理,假设是归于使用型的《微积分》民兵葛二蛋苗子,国内的《高数》显着偏难,而且联络实践的标题太少;可是假设归于剖析型的《微积分》,那内容又略显得简略和臃女司机贴字条卖萌肿。以至于绝大部分学生结业后底子完全遗忘《高数》究竟是什么,我不是说学生不认真学习或许教师差,而是教材的要素,教材,教材,乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载真的太差了。由于《微积分》是学习《概率核算》和《线性代数》的必备条件,因而直接导致全体考研数学成果十分乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载差,而实践上现在考研的数学标题都是十分根底的,是教材上例题的加强版,合理的学习安排下,应该能考到120分左右。但由于教材的巨大诱导性,让学出产生了严峻的惊骇心理和不满情绪,这又反作用了对数学的惧怕和恶感,真是一件很悲痛的作业。

 

对《同济高数》的定见

实践上,《同济高数》是十分笼统的,而且脱离实践的。从目录来看,好像完好的覆盖了整个《CALCULUS》系统,可是在简直全部的要害点上,同济的编者并没有用心处理,或许说,至少没有从学生的视点去考虑。能够说全部知识都是:点到为止,泛而不精全书言语都过于机械数字化,当然内容都是正确的,也没有显着过错,但正是这种中庸精力,少了一份灵气,少了一份让学生加深了解的辅助材料。要仿制公式谁不会,我能够用几页A4纸把全部公式都写出来,莫非这样就代表整个《微积分》了吗?往往是在公式之外的当地,在书本留白的边际,在最细节的当地,最难的当地,最笼统的当地,最需求descriptive statement 的当地才干看出一个作者的功力是否深沉,学识是否到家。举重若轻,是对一个学者的最高的赞誉和点评,惋惜国内教材和教授们在这个方面,还有很长的路要走呢。

《同济高数》用很准确的言语把极限“D-E”界说摆出来,可是没有阐明这个界说的来龙去脉,因而许多学生都看不明白,乃至适当一部分学生都无法准确发音 delta -epislon,更甭说了解到为什么要用D-E来代表极限?不能用其他符号吗?而实践上 D-E 在古希腊字母中只是表明字母表的第四个和第五个字母,没有任何特别的含义,主要是ABC 都被欧几里得霸占在几许学里,没办法用了,被逼无法选用了 D-E

而在美国教材中,原作者用了一大段很简略的言语和几幅图片,将极限进行了解说“Limit is an active approachingprocess, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how closeyou are, you will never reach that target ”极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的年代还没有呈现,由于极限触及到的数学原理其实很杂乱,只是是连续性光滑性这两个看起来很简略的名词,就让整整一个世纪的数学家废寝忘食,废寝忘食,才得出定论。

而至于咱们今日看到的D-E界说,更是牛顿身后近两百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出,因而美版教材遍及都不要求证明,只需求了解极限的意识形态。《同济高数》关于一元微积分简直完全没有实伟峰制刷厂例,而关于极端重要的龙之色sinhxcoshx,更是只需寥寥几页纸,而且还带了一个星号,给人一种欲练此功,必先自宫的惊骇,sin柯震东终身禁演令hx,coshx 便是由 E^X 跟它的反函数E^(-X)进行线性组合得到的,简略吧?可是同济直接疏忽了 y=e^x 的教育,实践上 y=e^x 是微积分中最简略,也是最重要的函数族。正由于这个特色,对它们的求导/求积就十分简略,特别是后期学习无量级数,泰勒打开式,向量微积分,开普勒三大定理,概率的MGF,都时时刻刻体现出&n隐秘情事bsp;y=e^x 的巨大威力。

更严峻的问题是,同济和浙大的编兽人交者,都用了反人类的思想办法来打开教育。比如对y=x^n的求导教育,同济是直接拿界说出来,先把它证明晰,再举例通知学生这个定理能够直接运用。台下的学生一脸问候……

莫非咱们不会觉得这是跟正常思想相反吗?美版教材便是先带领咱们学会y=1的求导,然后y=x的求导,然后y=x^2的求导,然后y=x^3的求导,然后作者Stewart循循善诱地问同学说"nowdo you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe thederivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"毕竟他才会摆出紧密的界说,并证明。此刻,学生也在进程之中学会了由特别到一般,再由一般到特别这样一个十分重要的数学思想。相对应的求积也相同,先核算y=1的积分,然后y=x的积分,然后y=x^2的积分,然后y=x^3的积分,毕竟再问学生"now do you see any pattern among these process ?Can you 翔嫂;GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what abouty=x^n?"  Stewart历来不会直接甩出一堆不流畅的证明,而是先从几个简略的比如,引导学生去 GUESS 这样的定论是否具有一般性,而且证明自己的GUESS 是对的仍是错的。Stewart 所用的比如都很简略,并没有太多的技巧和套路,可是这样的作用却十分好,由浅入深的协助学生"explore the unknown",这才是一名优异的教师所应有的情绪和水平。

多年后,或许你会遗忘多元积分的公式,你也会遗忘Laplace FourierTaylor的公式,但只需你还记得推理的办法,你就很简略在几分钟内完结这一个进程。李开曾骥瑞典复从前提到遗忘你所学的全部公式和定理,假设牛仔裤屁股你还能使用自己的了解去推理出来,那就阐明你的学识现已到家了。” 对这句话,自己无比附和。

美版教材一起顺便了许多的一元微积分习题,只罗列简略的入门习题:

1)固定的鱼塘里放入必定数量的鱼苗,在满足养分下,鱼苗不会无限增加,而是指数增加,使用微积分知识,就能够求Yahalue的相乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载应的增加数量。     

2)博尔特在一次110米栏竞赛中,总用时12秒,那么问你,他在4.5秒的时分,详细的瞬间速度是多少?相同前乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载提条件下,博尔特在8.5秒的时分,现已一共跑了多少米?毕竟就会问,有什么方法把上面两个不相干的问题联络起来?        

3)某降血压的药物,给高血压患者吃了后,检测得血压下降的速度与药物浓度有直接联络,使用微积分就能够求得,吃多少的药物,才是有用的安全规模。        

4)化学反响中,某元素反响时刻跟元素浓度呈正比联络,可是显着不是一般的线性联络,使用微积分,就能够求的某时刻的浓度,或许完全反响所需的时刻。      

5)发射地球同步卫星,需求多少做功,某瞬间需求多大的速度,怎么确认速度跟做功之间的联络,在简易条件下怎么查验相对论的正确性。      

6)水面的波涛从中心点向外扩张,呈 sinhx 的轨道;而悬链线的受力状况,却是呈coshx的轨道,试用微积分知识进行简略阐明。      

7)流体经过某管道时,其接近管壁的流体速度会由于阻力二减慢,中心部分由于阻力较小而速度加速,试用微积分知识来解说为什么。

当然还有许多的变速的位移,变力做工,经济学的边际效应,价格弹性,财物定价模型(CAPM, WACC),旋转体的体积,等等都是《同济高数》所短少的实践使用。正是由于这些绘声绘色的比如,学生才干深化了解到微积分关于现代日子的巨大改动和含义。

不然,假设只是是把朴实的数字翻来翻去,求导/求积,学生都会了,那然后呢?莫非学了微积分便是来做一个人工核算器吗?国内教材总是直接叫学生套用某某公式解标题,而疏忽了公式之外的逻辑了解和推到才干,美版教材就底子相反,很着重对底子公式的推到和概括才干,而下降对公式自身的依耐性。这是两种天壤之别教育理念的抵触。

国内教材就像(授人与鱼),给你一堆公式和定理,让你照着用。美版教材就像(授人与渔)给你一种发现公式和定理的思想,让你学会自己概括总结。它首要就会通知咱们:《微分学》研讨“instantaneous,incremental and related changes” 的问题;而《积分学》研讨“outputfrom irregular input ”的问题。《微积分》的实质便是研讨"activevariable"的问题,教材特别屡次着重“thesignificant difference between calculus and algebra and geometry is thatcalculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is workingon still variable”.

 

对同济《线性代数》,浙大《概率核算》的定见

这两套教材也是被国人视为珍宝,敬而远之,可是适当许多的学生反映:《概率核算》由于比较详细,还牵强看得懂。可是《现代》实在太笼统,所以许多学生反响无法了解由于这两套教材也十分笼统和理论化,短少很重要的PREFACE,让学生在学习之前能对本学科有一个 FRAMEWORK 上的把握和掌控,底子上看完了也不知所云。

美版教材不管怎么都会有这些东西,而且开篇就通知你《线代》研讨的对象是“vector, especially COLUMN vector”,并不是所谓的“matrix”或许“determinant”或许“eigenvalue”,并在一开始就对向量进行了详尽的教育,从加法、减法,二维图示,三维图示,到dotproduct,到cross product,到matrix,到determinant,毕竟才是瓜熟蒂落地引入matrix as linear transformation非理工科的学生,学到这儿就差不多了,后边vector space  orthogonallity ,比较笼统,难度也大,能够有挑选地抛弃。

至于最重要的rank , 刑家军nuliity , dimension ,同济并没有说清楚。假设是一维的,那便是两个向量共线;二维的,那便是两个向量构成一个四边形;三维的,那便是三个向量构成一个体积;四维以上的,照样是体积,可是一般不评论。而全部的行列式矩阵通解特解特征向量特征值,等等名词,都是rref 后环绕COLUMNvector 打开的运算罢了。可是由于《同济线代》底子没有这些根底知识做衬托,导致学生底子看不明白教材的内容。就适当于:让学生去缔造一栋摩天大楼,可是不让你打地基,直接就在平地施工缔造第一层。实践上非理工类本科阶段的《线性代数》是十分简略的,是最根底的加减乘罢了,可是(许多)学生却说不清楚 columnspace   row space 的差异,这就直接导致后期学习绰绰有余,寸步难行。

浙大的《概率核算》相对来说比同济优异太多了,但仍是存在十分丧命的缺陷。首要,是系统太紊乱,居然关于discrete/continuous RV 的最根底术语(pmf, pdf,cdf)都短缺完好。其次,是教育太粗浅,全部的实例都是一笔带过,关于大名鼎鼎动漫美人凶恶的Poisson),和Exponential (乃至都没有阐了解之间的奇妙联络,简直不如维基百科。

美版的《概率与核算》对一维的变量散布进行了十分详尽的教育,五种discrete/continuous RV ,及其相关的meanvariancemedian, skewness每一种散布都配了至少五道例题,每到例题都有详细的回答思路和完好的mathmatical induction,简直占有了一半的教材内容,并顺便有十分丰富的课后练习。而关于愈加杂乱的二维变量,及其meancor-varianceco-relation,教材反而用了较少的版面,由于二维不过是两个一维变量围成的一个面积罢了,其他并无显着差异,只需先扎扎实实学好一维的,二维的问题就变得很简略。美版教材特别阐明晰几个问题“Poissondistribution looks very complicated at first, but it is actually the discreteversion of Exponential distribution, which is very easy to calculate. ButExponential distribution, together with its brother Erlang distribution, isalso a simplified version of Gamma distribution. But the most interestingfinding is that the Chi-squared distribution is&nb南边卫视tvs3直播sp;a special case of Gammadistribution as well as a special case of Norma distribution, which means tosome extent, all the important distributions can be related to Normaldistribution ! ” 其实越是学到后边,越会发现向量的重要性,它即呈现在《线代》,也呈现在《概率》,更呈现在《高级微积分》中,能够说向量,是衔接可感知国际不行感知国际的桥梁,是数学的核武器

看完美国教材只需一个感触:真正好龙思雷的教育是将杂乱的东西简化,强化根底概念和实践使用,弱化详细核算和逻辑证明,毕竟让一般学生也可把握相对艰深的理论知识,并敏捷转入实践使用。国内的教育正好相反:强化详细核算和逻辑证明,却弱化了根底概念和实践使用,毕竟出产了许多解题高手,但他们完全不明白这些数学有什么用?

 

教材引荐

以下教材是全英文的,对英语有较高的要求。当然,优异的教材有许多,我只罗列自己看过,而且给予好评的三本根底教材。他们难度适中,编写合理,循循渐进,很合适根底较差的经管类、或许理工科的大学生。

假设是初学者,请必定依照微积分---概率论---线性代数的流程来学习,由于求导/求积的运算是后期概率运算的根底。可是在《概率核算》和《线代》中,后边几章难度大,而且跟其他学科联络较少,所以一般学生看看即可,不需深化。由于《微积分》完全催化了物理学和化学,因而顺带引荐三套优异的理科教材。假设把《微积分》学好,再去学物理学或许化学,那简直是摧枯乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载拉朽、风卷残云一般的简略。我是人大结业的,看到母校引入而且出书了如此优异的数学蜜导煎根底教材,感到十分高兴和骄傲。可见,不只是是我一个人,而是更多专家学者,都深深感到了中美高级教育的巨大距离。感谢母校供给的双语教材,登高望远,可谓居功至伟。

《微积分》  

《概率论与数理核算》

《线性代数

《根底物理学》  

《大学物理》  

《根底化学》

《大学化学》

《根底生物学》

《大学生物学》

一起引荐一套相对来说比较偏门的书,是由于这些书尽管对考试没用,可是关于了解本学科,具有巨大的含义。关于特别重要的核心内容有深化的解说,从时刻轨道来阐明科学家是怎么把日子中的现象,高度提炼成为详细的公式,并用这些公式来改动了整个国际。引荐给有志于深化学习的学生看一看,尽管数字证明比较不流畅,可是能够不看数学证明,仅看发展进程,当作小说读一遍也会收获颇丰。

《极上亲父数阮柏霖学史》

《化学简史》

《物理学史》

《科学史》

《科学发现者:物理原理与问题》

《科学发现者:化学概念与使用》

《科学发现者:生物生命的动力》

《科学发现者:地理环境与世界》

 

结语

由于才干有限,小生不行能几句话就总结大学数学,不行能通知他人怎么短期内成为学霸,由于《大学数学》作为一门高度完好谨慎的学柔美的细胞君科,毕竟要靠静心苦读和日夜刷题才干学到真功夫。小生衷心肠期望这篇短文能改动你们对数学的成见和仇视,为你们供给一个能够行进的方向,让高数不再那么高不行攀,让全部人都感触到数学之艺术和威力。

倘若将学习比作练武的话,那么教材便是练功秘籍,教师便是练功师傅。优异的秘籍和师傅能让你事半功倍、文武双全,而残次的秘籍和师傅则让你走火入魔、声名狼藉。好了,写到这也差不多了。秘籍现已给你们供给在上面,但路一直在自己脚乐高积木,每逢佳节倍思亲,昭君出塞-雷竞技官方下载_雷竞技官网_雷竞技官网app下载下,毕竟修炼成为丐帮帮主,亦或星宿老仙,就看各位自己了。

 

我在结业后的作业里,大学数学并没有太多直接发挥的途径。简直全部的核算和规划,都交给了核算机处理。可是在学习数学的进程中所得到的紧密的推理准确的结构坚强的毅力,这三样东西将会在你们的工作生涯发挥巨大的无形价值,不管你的工作,专业,性别,年岁,当你今后遇到困难和波折,静下来想一想,当年数学都能够把握,莫非还会惧怕眼前的苟且吗?

说究竟,数学给你带来的,其实是众神之上的决心

英豪们,再见!

————

修改 ∑Pluto


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